sinusoida.com О формуле Пика

Если вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки, и внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов, то его его площадь равна
S= n + m/2 - 1 (формула Пика).

Доказательств этой теоремы немало, одно из них - по этой ссылке.
Поиграть с этой формулой можно на замечательном сайте математических этюдов.

Пользоваться формулой Пика на ЕГЭ я советую осторожно. потому что сбиться со счета в подсчете вершин довольно легко, поэтому лучше её использовать в качестве инструмента проверки.

Как видим на рисунке, число узлов решетки внутри многоугольника (красные точки) - 7, а на границе (зеленые точки) - 8. Тогда согласно формуле Пика площадь многоугольника 7+8/2 - 1 = 10.

Разбив многоугольник на два треугольника и посчитав их площадь убеждаемся, что площадь многоугольника действительно равна 10.